Matemática Hindu

Escavações arqueológicas em Mohenjo Daro fornecem provas de uma civilização antiga e de alta cultura na Índia durante a era das construções de pirâmides egípcias, mas não temos documentos matemáticos indianos dessa época. Mais tarde o país foi ocupado pelos invasores arianos que introduziram o sistema de castas e desenvolveram a literatura sânscrita. O grande mestre religioso, Buda, agia na Índia mais ou menos quando Pitágoras, ao que se diz, esteve lá, e às vezes se tem sugerido que Pitágoras aprendeu seu teorema com os hindus. Estudos recentes mostram ser isso altamente improvável dada a familiaridade dos babilônios com o teorema pelo menos mil anos antes.

A queda do Império Romano do Ocidente tradicionalmente é situada no ano 476; foi nesse ano que nasceu Aryabhata, autor de um dos mais antigos textos matemática indianos. É claro, entretanto, que tinha havido atividade matemática na Índia muito antes disto- provavelmente antes mesmo da mítica fundação de Roma em 753 a.C. A Índia, como o Egito, tinha seus "estiradores de cordas". Mais ainda do que na China há uma notável falta de continuidade na tradição matemática na Índia; contribuições significativas são acontecimentos isolados separados por intervalos sem realizações.

Ramanujan

Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) foi um dos maiores gênios matemáticos indianos. Fez contribuições substanciais nas áreas de análise matemática, teoria dos números, séries infinitas, frações continuadas, etc. 

       Ramanujan nasceu em uma pequena vila chamada Erode, a cerca de 400 km sudoeste de Madras. Quando tinha um ano de idade, a sua mãe levou-o para Kumbakonam, a cerca de 160 km de Madras onde o seu pai trabalhava como empregado numa loja de tecidos.

          Quando tinha perto de cinco anos, Ramanujan entrou para a escola primária em Kumbakonam, tendo mudado de escolas primárias várias vezes antes de entrar na Town High School em Janeiro de 1898. Ramanujan sempre mostrou um gosto especial pela matemática. Foi na Town High School que Ramanujan encontrou um livro de matemática de G. S. Carr chamado Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics. Este livro, com o seu estilo conciso, permitiu a Ramanujan avançar em matemática de forma autodidata.

        Na verdade, em 1900 começou a trabalhar sozinho na soma de séries geométricas e aritméticas. Em 1902, aprendeu a resolver equações cúbicas. A partir daí, empenhou-se em descobrir o seu próprio método para resolver equações de quarto grau. No ano seguinte, não sabendo que as equações de quinto grau não podiam ser resolvidas através de radicais, tentou (e obviamente falhou) resolver as equações de quinto grau. Em 1904, investigou as séries ∑ (1/n) e calculou a constante de Eüler para quinze casas decimais. Começou a estudar os números de Bernoulli, que descobriu de forma inteiramente independente.

          Ramanujan entrou em 1904 para a Government College emKumbakonam graças uma bolsa de estudo resultante do seu excelente desempenho escolar. Contudo a bolsa não foi renovada no ano seguinte porque Ramanujan dedicava cada vez mais tempo à matemática, negligenciando as outras matérias. Sem dinheiro, Ramanujan enfrentou dificuldades que o levaram, sem dizer aos pais, a fugir para Vizagapatnama cerca de 650 km de Madras. Apesar de tudo, continuou o seu trabalho matemático, então dedicado às séries hipergeométricas e às relações entre séries e integrais.

          Em 1906, Ramanujan foi para Madras onde entrou para oPachaiyappa’s  College. O seu objetivo era fazer o exame de admissão à Universidade de Madras. Assistiu a aulas, mas adoeceu três meses depois. Ainda chegou a fazer o exame, passou em matemática, mas reprovou em todas as outras matérias, não entrou na Universidade de Madras. Nos anos seguintes, continuou o seu trabalho em matemática, desenvolvendo as suas próprias idéias, sem nenhuma idéia dos tópicos de investigação da altura, sem mais informações do que as do livro de Carr.

          Prosseguindo o seu trabalho, Ramanujan estudou frações contínuas e séries divergentes.  Por volta de 1908, mais uma vez, adoeceu gravemente. Esta situação obrigou-o a submeter-se a uma intervenção cirúrgica, em 1909, da qual levou um tempo considerável a recuperar. Casou em 14 de Julho quando a sua mãe lhe arranjou uma noiva de nove anos (S Janaki Ammal), com que só foi viver quando ela atingiu doze anos.

          Ramanujan continuou a desenvolver as suas idéias matemáticas e começou a publicar no Journal of the Indian Mathematical Society. Depois da publicação de um trabalho brilhante sobre os números de Bernoulli em 1911, ganhou algum reconhecimento pelo seu trabalho. Apesar da ausência de formação universitária, começou a ser conhecido como um gênio da matemática.

          Nos anos seguintes Ramanujan prosseguiu os seus estudos matemáticos chegando a trocar correspondência com matemáticos de renome, mas com respostas pouco animadoras. O único que se mostrou entusiasmado com os resultados enviados por Ramanujan foi Godfrey Harold Hardy.

          Em 1914 a admiração de Hardy por Ramanujan levou-o a convidá-lo para Inglaterra para o Trinity College em Cambridge. Assim se deu inicio a uma colaboração extraordinária da qual surgiram resultados muito importantes.

        Ensinou na Universidade de Madras e destacou-se no Trinity college, da Cambridge University. Vegetariano e profundamente ligado à cultura hindu, atribuía sua inspiração matemática à deusa Namagiri.

       Suas pesquisas incluíam séries Riemmam, frações contínuas, integrais elípticas, série hipergeométrica, função zeta e séries divergentes. Caracterizaram-se por não dar grande importância as demonstrações e apresentou diversos resultados sem prova, mas a maioria verdadeira, conforme outros demonstraram mais tarde.

Infelizmente contraiu tuberculose 1917, retornou muito doente para a Índia 1919 e morreu no ano seguinte (aos 32 anos), em Kumbakonam. Em sua memória foi criado o prêmio Srinivasa Ramanujan 2005, destinado a distinguir matemáticos de até 45 anos, que estejam a fazer investigação em países em desenvolvimento e vale dez mil dólares, financiado pelo Niels Henrik Abel Memorial Fund.

Brahmagupta

Brahmagupta foi um matemático e astrônomo da Índia. Morou a maior parte de sua vida em Bhillamala (atual Bhinmal) no império de Harsha. Como resultado, Brahmagupta é frequentemente referido como Bhillamalacarya, "o professor de Bhillamala Bhinmal". Ele foi o líder do observatório astronômico em Ujjain, e durante seu período lá escreveu quatro textos sobre matemática e astronomia: Brahmasphutasiddhanta, Cadamekela, Durkeamynarda e Khandakhadyaka, ele também é considerado o pai da aritmética, da álgebra e da análise numérica. A aritmética moderna usada atualmente espalhou-se pela Índia e Arábia e então para a Europa. Seu trabalho teve impacto significativo nas construções matemáticas. Brahmagupta popularizou o conceito do zero, e definiu regras para a aritmética com números negativos e com o zero, que são próximas ao entendimento atual da matemática moderna.

A Compreensão de Brahmagupta, dos sistemas de número foi muito além dos outros do período. No Brahmasphutasiddhanta ele definiu zero como o resultado da subtração de um número de si mesmo. Ele deu algumas propriedades como segue:

Quando zero é adicionado a um número ou subtraído de um número, o número permanece inalterado, e um número multiplicado por zero torna-se zero.

Ele também dá as regras aritméticas em termos de fortunas (números positivos) e dívidas (números negativos):

A dívida menos zero é uma dívida.

Uma fortuna menos zero é uma fortuna.

Zero menos zero é um zero.

A dívida subtraída do zero é uma fortuna.

Uma fortuna subtraída do zero é uma dívida.

O produto de zero multiplicado por uma dívida ou fortuna é zero.

O produto é multiplicado zero zero zero.

O produto ou quociente de duas fortunas é uma fortuna.

O produto ou quociente de duas dívidas é uma fortuna.

O produto ou quociente de uma dívida e uma fortuna é uma dívida.

O produto ou quociente de uma fortuna e uma dívida é uma dívida.

 A maior divergência é que Brahmagupta tentou definir a divisão por zero, uma situação considerada inexistente na matemática moderna. Sua definição de zero como um número era acurada exceto que ele considerava 0/0 igual a 0, sendo que considera-se atualmente que essa quantidade não pode ser definida.

Além da invenção do zero, Brahmagupta também contribuiu para outros ramos da matemática:

Álgebra

Como a álgebra de Diofanto, a álgebra de Brahmagupta foi sincopado. Além disso, foi indicado, colocando lado a lado os números, subtração, colocando um ponto sobre o subtraendo e divisão, colocando o divisor abaixo do dividendo, semelhante à nossa notação, mas sem o bar. Quantidades evolução multiplicação, e desconhecidos foram representados por abreviaturas de termos apropriados.

Aritmética

Quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) eram conhecidas por muitas culturas antes de Brahmagupta. Este sistema atual é baseado no sistema de numeração hindu árabe e apareceu pela primeira vez em Brahmasputa siddhanta. Brahmagupta descreve a multiplicação como assim "o multiplicando é repetido como uma corda para o gado, como muitas vezes, pois há partes integrantes do multiplicador e é repetidamente multiplicada por eles e os produtos são somados. É a multiplicação. Ou o multiplicando é repetido quantas vezes existem componentes no multiplicador ". [ 7 ] Mas os métodos sumerian foram pesados ​​e difiicult como o método grego e não usamos hoje. Indian aritmetic era conhecido na Europa Medieval como "Modus Indoram" método significado dos índios. Em BrahmasputhaSiddhanta, Multiplicação foi nomeado Gomutrika. No início do capítulo doze de seus Brahmasphutasiddhanta, intitulado Cálculo, as operações de Brahmagupta detalhes sobre frações. O leitor é esperar para saber as operações aritméticas básicas, tanto quanto tomar a raiz quadrada, embora ele explique como encontrar o cubo e cubo-raiz de um número inteiro e depois dá regras facilitar o cálculo de quadrados e raízes quadradas.

Geometria

Resultado mais famoso Brahmagupta em geometria é a sua fórmula para quadriláteros cíclicos. Dado os comprimentos dos lados de qualquer quadrilátero cíclico, Brahmagupta deu uma aproximada e uma fórmula exata para a área da figura.

12.21. A área aproximada é o produto das metades das somas dos lados e lados opostos de um triângulo e um quadrilátero. A [área] precisa é a raiz quadrada do produto das metades das somas dos lados diminuíram [cada] lado do quadrilátero.

Medidas e construções

Em alguns dos versos antes do versículo 40, Brahmagupta dá construções de várias figuras com lados arbitrários. Ele essencialmente manipulados triângulos direito de produzir triângulos isósceles, escaleno triângulos, retângulos, trapézios isósceles, trapézios isósceles com três lados iguais, e uma cíclica escaleno quadrilátero.

Depois de dar o valor de pi, ele lida com a geometria de figuras planas e sólidos, tais como encontrar volumes e áreas de superfície (ou espaços vazios escavados de sólidos). Ele encontra o volume de prismas retangulares, pirâmides, e o tronco de uma pirâmide quadrada. Ele ainda encontra a profundidade média de uma série de pits. Para o volume de um tronco de uma pirâmide, ele dá o valor “pragmático”, como a profundidade vezes o quadrado da média das bordas das faces superior e inferior, e ele dá o volume "superficial", como os tempos profundidade de sua média área.

Trigonometria

Aqui Brahmagupta usa nomes de objetos para representar os dígitos do lugar-valor numerais, como era comum, com dados numéricos em sânscrito tratados. Progenitores representa os 14 Progenitores ("Manu") em Indian cosmologia ou 14, "gêmeos" significa 2, "Ursa Maior" representa as sete estrelas da Ursa Maior ou 7, "Vedas" refere-se à Vedas 4 ou 4, dados representa o número de lados da tradição morrer ou 6, e assim por diante. Esta informação pode ser traduzida para a lista dos senos, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 e 3270, com o raio sendo 3270.

Bhaskara (1114-1185)

Bhaskara nasceu em 1114 na cidade de Vijayapura, na Índia. Também era conhecido comoBhaskaracharya . Ele não deve ser confundido com um outro matemático indiano que tinha o mesmo nome Bhaskara e que viveu no século VII.

Naquela época, na Índia, os ensinamentos eram passados de pai para filho. Havia muitas famílias de excelentes matemáticos. O pai de Bhaskaracharya era astrônomo e, como era de se esperar, ensinou-lhe Matemática e Astronomia.

Bhaskaracharya tornou-se chefe do observatório astronômico de Ujjain - na época, o centro mais importante de Matemática, além de ser uma excelente escola de matemática astronômica criada pelos grandes matemáticos que ali trabalharam.

Bhaskaracharya foi um dos mais importantes matemáticos do século XII, graças aos seus avanços em álgebra, no estudo de equações e na compreensão do sistema numérico - avanços esses que os matemáticos europeus levariam séculos ainda para atingir. Suas coleções mais conhecidas são: Lilavati que trata de aritmética; Bijaganita que discorre sobre álgebra e contém vários problemas sobre equações lineares e quadráticas com soluções feitas em prosa, progressões aritméticas e geométricas, radicais, ternas pitagóricas entre outros tópicos; Siddhantasiromani, dividido em duas partes: uma sobre matemática astronômica e outra sobre a esfera.

Em suas obras podemos perceber que Bhaskara trabalhou com equações de segundo grau e formulou uma expressão que envolvia raízes quadradas:

,

Ele sabia que a equação tem duas raízes,entretanto não parece ser verdade que tivesse encontrado a conhecida fórmula da resolução de equação do 2º grau: 

,  então

Na realidade até o fim do século XVI não se utilizava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não existia a notação usual de hoje. A representação feita por letras, indicando os coeficientes, começou a ser desenvolvida a partir de François Viète.

O nome de Bhaskara relacionado a esta fórmula aparentemente só ocorre no Brasil. Não encontramos esta referência na literatura internacional. A nomenclatura "fórmula de Bhaskara" não é adequada, pois problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam quase quatro mil anos antes, em textos escritos pelos babilônios, nas tábuas cuneiformes. Nesses textos o que se tinha era uma receita, escrita em prosa, sem uso de símbolos matemáticos, que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos, quase sempre ligados a relações geométricas.

Nem por isso devemos diminuir a fama de Bhaskara. Podemos até ressaltá-la ao indicar duas relações, que foram apresentadas pela primeira vez por ele:

Bhaskara obteve grande reconhecimento pelas suas importantes contribuições para a Matemática. Em 1207, uma instituição educacional foi criada para estudar o seu trabalho. Em uma inscrição medieval em um templo indiano podemos ler: “Triumphant is the illustrious Bhaskaracharya whose feats are revered by both the wise and the learned. A poet endowed with fame and religious merit, he is like the crest on a peacock.”

Bhaskara morreu aos 71 anos de idade em Ujjain, Índia, em 1185.