A Hegemonia Árabe

Existem controvérsias sobre a importância das contribuições dos árabes, as colocações de dois autores nos mostram bem esta questão Tahan ([S. n], p.175) diz-nos “Aos árabes devemos, acima de tudo, o advento da Renascença, no período histórico em que se realizou.” Por outro lado, Eves (2004, p.267) se referindo a estas controvérsias diz-nos que os árabes “[...] a despeito de talvez revelarem erudição, raramente eram criativos e que seu trabalho se situa num plano secundário, quantitativamente e qualitativamente, em relação aos gregos e escritores modernos.”          Há que se considerar todo o contexto histórico mundial daquela época para então emitir julgamento sobre o assunto.

Breve histórico do Império Árabe

Durante o século VII a Península Arábica passava por uma crise, era habitada por tribos nômades do deserto, chamados beduínos, que eram analfabetos. Entre eles, surgiu o profeta Maomé uma das grandes personalidades da humanidade, fundou o Islamismo, tornou-se líder militar, político e religioso, nasceu em Meca, ano 570 ou 571 d.C. e morreu em também ali.

Os mais notáveis matemáticos árabes

Dentre alguns matemáticos árabes que se destacaram, iremos falar sobre: Mohamed ibu-Musa al-Khowarizmi e Thabit ibn Qurra.

Mohamed ibu-Musa al-Khowarizmi

                 Foi um matemático, astrônomo, astrólogo, geógrafo e autor persa. Conhecem-se poucos detalhes de sua vida. Era um erudito na Casa da Sabedoria em Bagdade. Nasceu na Corásmia. É de seu nome que deriva o termo "algarismo", em português. Faleceu em 850 d.C., Bagdá, no Iraque. Participou de trabalhos como no relógio-de-sol e na tabelas sobre o astrolábio e ainda escreveu diversos livros no campo da astrologia assim como no da matemática, debruçando-se no estudo da aritmética, geometria e álgebra, tanto que por alguns estudiosos ele é considerado o pai da Álgebra.

Principais obras

•       "Al-Kitab al-fi mukhtaṣar Hisab al-jabr wa-l-muqabala" (Compêndio sobre Cálculo por Completude e Balanço). Expõe os alicerces da álgebra, sendo o primeiro a estudar sistematicamente a resolução de equações lineares e quadráticas. A palavra álgebra deriva de uma das operações básicas com equações (al-ğabr) descritas neste livro.

•      Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind (O Livro de adição e subtração de acordo com o cálculo hindu). É um compêndio e uma extensão das regras conhecidas de resolução de equações quadráticas e outros problemas. 

Thabit ibn Qurra

Foi um médico mandeísta. Tendo sido também um grande tradutor, astrônomo, e matemático. Thabit fundou uma escola de tradutores, atribui-se a ele a tradução de obras de Euclides, Arquimedes, Apolônio, Ptolomeu e Eutocio, graças a ele temos os sete primeiros livros de As cônicas de Apolônio, ao invés de apenas os quatro primeiros. Ele dominava plenamente o conteúdo das obras clássicas, que traduziu, ao ponto de sugerir generalizações e modificações. Nasceu em 836 d.C., Harã, Turquia e falecu em 18 de fevereiro de 901 d.C.,Bagdá, no Iraque.

Principais trabalhos:

•      Desenvolveu uma equação para os números amigáveis ( que são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro. Por exemplo, os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 284. Por outro lado, os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220. Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416.

•      Também propôs uma generalização do teorema de Pitágoras aplicada a todos os triângulos. Mas ele não ofereceu prova deste teorema.

Matemática Chinesa

Na China, a matemática era vista como uma necessidade e utilidade. Os chineses tinham um método para resolver sistema de equações lineares muito semelhantes ao Método de Gauss. Começaram a usar o número negativo mais cedo que todas as outras civilizações; no séc. V usavam 355/113  para π, valor atribuído a um matemático Métius no séc. XVI;

Pelo séc. VII já calculavam o volume da esfera usando o Princípio de Cavalieri (séc. XVII);

No séc. XII, Yang Hui provou a fórmula que determina “a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais por reunião de volumes”, a mesma descoberta surgiu no ocidente no 19.º século.

O fato de a matemática chinesa ter-se desenvolvido durante 3 milênios originou uma infinidade de aspetos com teor matemático, contudo nesta secção iremos destacar aqueles que entendemos serem os mais importantes.

Sistema Numérico

Os chineses foram umas das primeiras civilizações a entender que os cálculos num sistema decimal são mais simples e eficazes. Em 1500 anos a.C. tinham sistema com 5000 caracteres posicionais, mais tarde inventaram os cilindros de contagem. No séc. V a. C. já se efetuavam as quatro operações aritméticas recorrendo aos cilindros. Estes tinham duas cores, uma para representar os positivos, outra para representar os negativos. O sistema é bastante útil e prático, contudo tem as suas desvantagens, pois a verificação dos cálculos podia ser exaustiva e o trabalho com vários cilindros podia ser demorado. As operações são muito semelhantes às nossas, com a diferença de se realizarem da esquerda para a direita e de se considerar o algarismo de maior ordem na multiplicação.

Os Números

Os chineses usavam palitos para fazer suas operações. No início, os palitos eram grandes, depois foram diminuindo, e eram usados como símbolos para representar os números de 1 a 9. Cada número tinha um valor dependendo da sua posição no conjunto de palitos. Tirando o modo de representar os números, esse sistema é quase igual ao nosso. A única diferença é que não existia nenhum símbolo para o zero. Os chineses simplesmente deixavam o espaço em branco. Isso não causava nenhum problema para eles, porque não faziam  seus cálculos em papel; eles usavam um tabuleiro parecido com o do jogo de xadrez, por exemplo. Os grupos de palitos eram colocados em casas que representavam unidades, dezenas, centenas, etc. O nome do tabuleiro era swan-pan, e os quadrados vazios significavam o zero.

Nove Capítulos sobre a arte da Matemática.

Liu Hui (250 anos a.C.), um dos maiores matemáticos chineses, considerado o Euclides Chinês, fez comentários à obra Nove Capítulos sobre a arte da Matemática e reescreveu-a com alguns melhoramentos. Possivelmente, a obra original foi escrita antes de 400 anos a.C. e era constituída por uma mistura de conhecimentos de diferentes autores. A obra de Liu Hui está dividida em 9 capítulos.

1º Capítulo - Este capítulo indica o processo simplificar, somar/subtrair e multiplicar/dividir frações. No caso da simplificação de frações, eles utilizavam o máximo divisor comum (m.d.c). Para somar ou subtrair eles colocavam todas as frações com o mesmo denominador fazendo o mínimo múltiplo comum (m.m.c.). Para multiplicar ou dividir calculavam o m.d.c. e procediam como nos dias de hoje.

Ainda neste capítulo, Liu Hui dá uma aproximação de π baseada no limite,

 “Se escrever um polígono de n lados, com n o maior número possível de lados, dentro de um círculo, então a área do círculo é igual à área do polígono”

Hui conseguiu mostrar que π=3,141024 , substituindo n por 192 na fórmula.

Onde ln  representa o comprimento do lado do polígono regular de n lados, r o raio de um circulo de comprimento 1 pé chinês e  a área do polígono regular de A_2n lados. 

  

Do 2º Capitulo ao 6ºCapitulo - Nestes ca

pítulos são ensinadas as regras das proporções, o método da falsa posição ou regra três simples, o método da decomposição ou dissecação de uma figura para usar nos sólidos geométricos.

7.º e 8º Capítulos - Surgem as equações indeterminadas, as equações com várias incógnitas, a regra da dupla falsa posição, e o modo de operar com números negativos usando os cilindros de contagem. Uma equação com duas incógnitas era resolvida por um processo idêntico ao da regra de Cramer, ou seja, calculando o determinante de uma matriz. O Método das tabelas era usado na resolução de equações com várias incógnitas na forma matricial e consiste na combinação linear de colunas para eliminar alguns elementos da equação e obter a solução. Esta invenção chinesa foi também descoberta pelo francês Buteo, em 1500.

9.º Capitulo - No último capítulo são apresentados problemas envolvendo triângulos retângulos através de dois conceitos, “empilhar quadrados” e a função tangente. Hui pressagiou a utilização das razões trigonométricas e mostrou como resolver equações do 2ºgrau usando um método semelhante ao do babilónico.

Chao Chung Ching e o comentário ao Teorema de Gougu

“O imperador Yu domina inundações, aprofunda rios e correntes, observa a forma das montanhas e vales, contempla lugares altos e baixos, alivia as maiores calamidades e salva as pessoas do perigo […]. Isto é possível pelo Teorema de Gougu”.

Este teorema originou 21 teoremas com ilustrações, infelizmente quase todos foram perdidos. O “diagrama sobre a hipotenusa é um dos sobreviventes .

Nove Secções da Arte dos Números e a Teoria Dos Números

Sun Tsu, 100 anos d. C. escreveu um manual de matemática, composto por três livros, que levou à criação de um dos mais famosos teoremas na Teoria dos Números, o Teorema Chinês dos Restos.

Mais tarde, Ch’in Chiu-Shao cria a obra Nove Secções da Arte dos Números (em 1247) que consistiu num melhoramento das obras Nove Capítulos e no Manual da Ilha do Mar.

Essa obra possui:

Cálculo de figuras geométricas reais;

Problemas de trigonometria;

Contém progressões aritméticas/ geométricas;

Equações de grau superior a dois (método de Horner ou Regra de Ruffini;)

Mas as suas maiores inovações aparecem na resolução de equações determinadas, usando o método do elemento celestial e na resolução de equações indeterminadas onde descreve detalhadamente o método chinês.

Teoria dos Números também foi estudada por Diofanto de Alexandria (275 anos d.C.), por Fibonacci (1202 anos d.C.) e atingiu o apogeu com Euler (em 1801) e Gauss (em 1801). Todas as civilizações para se divertirem e ocuparem o tempo, tinham vários jogos e passatempos, que utilizavam a matemática”.

Nove anéis ligados;

Tangram

        O yizhitu (é uma variante do Tangram e contém 15 peças.)

Os chineses tinham um grande fascínio por quadrados mágicos, estes quadrados foram primeiramente observados por Árabes, mas é aos chineses que se deve a construção da teoria sobre quadrados mágicos.