Euclides de Alexandria

Euclides de Alexandria nasceu a 360 a.C. na cidade de Alexandria e faleceu a 295 a.C. Foi um professor, matemático platônico e escritor. Não se sabe muito sobre sua trajetória existencial, pois nunca se falou demais acerca de sua vida pessoal.

Foi o criador da geometria euclidiana, isto é, o espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico e a metáfora do saber na antiguidade clássica, que se manteve intacto no pensamento matemático medieval e renascentista. Após ter efetuado os seus estudos em Atenas, Euclides foi chamado para ensinar matemática na escola criada por Ptolomeu Soter em Alexandria. Foi nesta escola, mais conhecida por “Museu”, que Euclides alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava geometria e álgebra, conseguindo atrair para as suas lições um grande número de discípulos. Diz-se que tinha grande capacidade e habilidade de exposição.
Enquanto esteve no “Museu”, ele escreveu o seu trabalho de maior influência, os “Elementos”, texto usado nas escolas por aproximadamente 2000 anos e que lhe rendeu o nome de “Pai da geometria”.

Obras 

Seus estudos não se limitaram a geometria, mas estenderam-se à música, à astronomia, à física e à moral. Apesar de terem se perdido muitas de suas obras ainda são encontradas:

• Dados (contendo 94 proposições) e que serve como guia para resolução de problemas relacionados a medidas lineares e angulares num círculo.
• Divisões que trata do problema da divisão das figuras geométricas num número dado de partes iguais, ou obedecendo a uma razão dada.
• Óptica, teoria contrária à de Aristóteles, segundo a qual o olho envia os raios que vão até ao objeto que vemos, e não o inverso.
• Os Fenômenos - estuda a geometria esférica e suas aplicações à astronomia.
• Elementos de música
• Pseudaria
• Aforismos
• Superfícies lugares-geométricos
• Cônicas (4 v.) obra em que estuda as propriedades das seções cônicas.

• Elementos de geometria - distribuídos entre treze volumes onde estão 465 proposições.  

Livro I: As 48 proposições que contempla este livro, se dividem em três grupos. As primeiras 26 tratam principalmente das propriedades dos triângulos, da 27 à 32 estabelecem a teoria das paralelas e demonstram que a soma dos ângulos de um triângulo tanto faz a dois ângulos retos. As proposições restantes deste primeiro livro tratam de paralelogramo, triângulos, quadrados, o teorema de Pitágoras e seu inverso que se estabelecem nas proposições na 47 e 48 respetivamente. Neste livro observam-se entre outras as seguintes definições iniciais:

- Um ponto é o que não tem parte nem dimensão.

- Uma linha é uma longitude sem largura.

- Uma reta é uma linha que tem todos seus pontos na mesma direção.

- Uma superfície é a que tem só longitude e largura.

- Um ângulo plano é a inclinação entre si de duas linhas de um plano, se estas se cortam e não estão em uma mesma reta.

- Quando as linhas que compreendem o ângulo são retas, se diz que o ângulo é retilíneo.

- Um círculo é uma figura plana contida em uma linha, telefonema circunferência, tal que todas as retas que vão desde um ponto particular até pontos dela, ficando dentro da figura são iguais.

- Figuras retilíneas são as contidas entre retas, figuras são as contidas entre três retas (triângulos),  Quadriláteros são os conteúdos entre quatro e os multilaterais ou polígonos são as contidas entre mais de 4 retas.

- Retas paralelas são as que, estando no mesmo plano e as prolongando indefinidamente em ambos sentidos, não se cortam nem em um nem no outro sentido.

Livro II: O livro II trata da transformação de áreas e o álgebra geométrica grega da escola pitagórica. Nesse livro estabelece-se a equivalência geométrica de diversas identidades algébricas e uma generalização do teorema de Pitágoras conhecido como a lei dos cosmos.

Livro III: Este livro trata daqueles teoremas relativos a circunferências, sensatas, tangente e a medição de ângulos.

Livro IV: Contempla as exposições das construções pitagóricas, com régua e compasso, de polígonos regulares de três, quatro, cinco, seis e quinze lados.

Livro V: Contém uma exposição magistral da teoria da proposição aplicável a magnitudes incomensuráveis e comensuráveis. Teoria que resolveu um escândalo lógico criado pela descoberta pitagórico dos números irracionais.

Livro VI: Aplica-se a teoria eudoxiana da proposição à geometria plana, estabelecem-se os teoremas fundamentais de uns triângulos semelhantes e construções que dão a terça, a quarta e meia proporcionais. Estabelece-se uma solução geométrica às equações quadráticas e a proposição de que a bissetriz interna de um ângulo de um triângulo divide ao lado oposto em dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.

Livro VII, VIII e IX: Estes livros tratam da teoria elementar dos números. Nestes três livros, Euclides define os números primos, desenvolve várias propriedades da divisibilidade, apresenta o seu algoritmo para encontrar o máximo divisor comum de dois inteiros, mostra como encontrar um número perfeito par de um número primo (hoje denominado de Mersenne), prova que existe um número infinito de números primos e define uma versão do teorema (preposição) fundamental da aritmética.

Livro X: Neste livro trata-se dos irracionais, isto é de segmentos retilíneos que são incomensuráveis com respeito ao segmento retilíneo dado. Grande parte do conteúdo deste livro acha-se é devido a Theaetetus, mas o extraordinariamente completo, a classificação e o acabamento acreditam-se a Euclides.

Axiomas ou postulados são declarações que são aceitas como verdadeiras. Euclides acreditava que nós não podemos ter certeza de quaisquer axiomas sem provas, de modo que ele desenvolveu etapas lógicas para prová-los. Euclides dividiu seus dez axiomas, que ele chamou de "postulados", em dois grupos de cinco. Os cinco primeiros foram "noções comuns", porque eles eram comuns a todas as ciências:

1.   O que são iguais à mesma coisa, são também iguais um ao outro.

2.   Se iguais forem adicionados a iguais, as somas são iguais.

3.   Se iguais forem subtraídos de iguais, os restantes são iguais.

4.   O que coincidem um com o outro são iguais um ao outro.

5.   O todo é maior do que a parte.

Os restantes cinco postulados foram relacionados especificamente à geometria:

6.   Você pode desenhar uma linha reta entre dois pontos quaisquer.

7.   Você pode estender a linha por tempo indeterminado.

8.   Você pode desenhar um círculo usando qualquer segmento de linha como o raio e um ponto final como o centro.

9.   Todos os ângulos retos são iguais.

10. Dada uma linha e um ponto, você pode desenhar apenas uma linha através do ponto que é paralela à primeira linha.

Teorema dos números

Euclides provou que é impossível encontrar o "maior número primo", porque se você tomar o maior número primo conhecido, adicione 1 para o produto de todos os números primos até e incluindo-o, você vai ter um outro número primo. Prova de Euclides para este teorema é geralmente aceita como uma das provas "clássicos" por causa de sua concisão e clareza. Milhões de números primos são conhecidos de existir, e mais estão sendo adicionados por matemáticos e cientistas da computação.